Ανεξαρτήτως συστήματος αρίθμησης

Να αποδειχθεί ότι σε οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης με βάση $a \geq 2$ οι αριθμοί:
$10101, 101010101, 10101010101010101, ...$ είναι σύνθετοι.

Υπενθυμίζεται ότι στα συστήματα αρίθμησης θέσης, με βάση $a$ ισχύει ότι:
$a_n a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_2 a_1 = a_1 + a_2 \cdot a + a_3 \cdot a^2 + \cdots + a_n \cdot a^n$

Οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:

$10101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4$

$101010101 = 1 \cdot a^0 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 + 0 \cdot a^3 + 1\cdot a^4 + 0 \cdot a^5 + 1 \cdot a^6 + 0 \cdot a^7 + 1 \cdot a^8$

 Και γενικά καθένας από τους αριθμούς αυτούς θα γράφεται:

$m_n = 1 + a^2 + a^4 + a^6 + a^8 + \cdots + a^{4n} $

που αποτελεί άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου:

$m_n = \frac{a^{4n +2} -1 }{a^2 -1} =\frac{a^{2n+1} -1}{a-1}\cdot \frac{a^{2n+1}+1}{a+1} =$

$= \left( a^{2n} + a^{2n-1} + \cdots +a^2 + a +1\right) \left( a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} -\cdots +1 \right)$

Οπότε πράγματι ο $m_n$ είναι σύνθετος, αφού εύκολα ελέγχεται ότι ο αριστερός διαιρέτης είναι μεγαλύτερος της μονάδας και μικρότερός του.