Σάββατο, 23 Σεπτεμβρίου 2017

Euler, the Beethoven of Mathematics - OpenMind

Το άρθρο που ακολουθεί στα Ελληνικά είναι ελεύθερη μετάφραση του επομένου:

Euler, the Beethoven of Mathematics - OpenMind




Όϋλερ(Euler), ο Μπετόβεν των Μαθηματικών



Στις σπουδές κάθε επιστήμονα υπάρχουν κάποια λίγα ονόματα που εμφανίζονται από μάθημα σε μάθημα. Όμως πάνω από αυτά των Νεύτωνα(Newton), Γαλιλαίου(Galileo) ή του Αϊνστάϊν (Einstein), υπάρχει ένα όνομα που πιθανώς προσπερνά όλα αυτά, απ' όταν τα παιδιά μαθαίνουν τις τέσσερεις βασικές αριθμητικές πράξεις, η προσέγγισή τους στη λογική εκκινά με τη θεωρία συνόλων και τα διαγράμματα Venn. Αλλά, αυτά δεν είναι τίποτα άλλο, παρά μία ειδική περίπτωση εκείνων που επινοήθηκαν από έναν Μαθηματικού του οποίου το όνομα προσάπτεται σε σταθερές, σε συναρτήσεις, σε εξισώσεις, σε νόμους, σε θεωρήματα και σε σχεδόν σε κάθε μορφή μαθηματικής οντότητας: του Euler.




Ο Ελβετός Leonhard Euler (15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783) υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους πνευματικούς υπερανθρώπους στην ιστορία της ανθρωπότητας. Οι αριθμοί αποδεικνύουν τις απίστευτες πνευματικές υπερδυνάμεις του. Στα 76 χρόνια ζωής του δημοσίευσε περισσότερες από 800 εργασίες, με σύνολο περισσότερες από 30.000 σελίδες. Εκτιμάται ότι σχεδόν το ένα τρίτο όλων των επιστημονικών και Μαθηματικών που γράφηκαν τον 18ο αιώνα έχουν την υπογραφή του. Μετά το θάνατό του ο νεκρολόγος τους χρειάστηκε 56 σελίδες για να αναφέρει όλες του τις δημοσιεύσεις. Όμως, ακόμα κι οι αριθμοί δεν επαρκούν για να περιγράψουν ένα καταπληκτικό μυαλό, του οποίου το ταλέντο έγινε θρύλος, μέσω διαφόρων ιστοριών. Ίσως, η καλύτερη γνωστή είναι ότι μπορούσε να διηγηθεί την Αινειάδα του Βιργίλιου από την αρχή έως το τέλος, διευκρινίζοντας πώς άρχιζε και πώς τελείωνε κάθε σελίδα της έκδοσης που κατείχε.



Υπερανθρώπινη υπολογιστική δύναμη

Η μνήμη δεν ήταν η μόνη δυνατότητα, στην οποία ο εγκεφάλός του φαίνεται να ανταγωνιζόταν τις σύγχρονες μηχανές: ακόμα κι η υπολογιστική του δύναμη υπήρξε υπεράνρθωπινη. Υπήρξε τα τελευταία 17 χρόνια της ζωής του σχεδόν εντελώς τυφλός, εξαιτίας του καταράκτη στο αριστερό του μάτι και μίας εκφυλιστικής ασθένειας στο δεξί του μάτι. Όμως η επίδραση που είχε αυτό στην παραγωγικότητά του ήταν να την αυξήσει! Κάποτε είπε: «με αυτόν τον τρόπο θα έχω λιγότερη απόσπαση στην προσοχή μου». ΑΦενός έγραφε κατά μέσο όρο μία εργασία την εβδομάδα, αφετέρου αστιευόταν για την τεράστια παραγωγή του, ισχυριζόμενος ότι το μολύβι του τον ξεπέρασε σε ευφυΐα. Όπως ο Μπετόβεν αδυνατούσε να ακούσει τη μουσική του, έτσι και ο Όϊλερ δύσκολα διέκρινε τους υπολογισμούς του, αλλά στο μυαλό του υπολόγιζε πίνακες των κινήσεων της σελήνης με τέτοια ακρίβεια, που ένας μαθητευόμενος ράφτης μπορούσε να χρησιμεύσει ως γραμματέας, χωρίς καθόλου μαθηματική εκπαίδευση.


Leonhard Euler portrayed by Jakob Emanuel Handmann circa 1756. Source: Deutsches Museum, Munich
Leonhard Euler portrayed by Jakob Emanuel Handmann circa 1756. Source: Deutsches Museum, Munich


Σε μία περίπτωση, δύο μαθητές διαφωνούσας για το αποτέλεσμα 17 όρων μίας σειράς ( η σειρά αποτελεί ένα άπειρο άθροισμα όρων ακολουθιών αριθμών), καθώς τα αποτελέσματά τους διέφεραν στον 15ο δεκαδικό ψηφίο.

Χωρίς μολύβι και χαρτί, ο Euler υπολόγισε σωστά το αποτέλεσμα στο μυαλό του σε μερικά δευτερόλεπτα. Η ιστορία αναφέρεται από τον σύγχρονο συνάδελφό του Γάλλο Nicolas de
Condorcet, ο οποίος στο θάνατο του Euler έγραψε μία μακρά ευλογία σε «έναν από τους μεγαλύτερους και εκπληκτικούς ανθρώπους που γέννησε ποτέ η φύση».

Περιέργως όμως, αυτός ο ευφυής άνθρωπος θα είχε χαθεί από τα Μαθηματικά, αν ακολουθούσε τα βήματα του πατέρα του, ως κληρικού στην εκκλησία, όπως είχε σχεδιαστεί. Όμως η συμβουλή ενός φίλου της οικογένειας, του Μαθηματικού Johann
Bernoulli (Ιωάννη Μπερνούλι), υπήρξε καθοριστική για τη στροφή του Euler στα Μαθηματικά και την επιστήμη.

 Πρόωρα προς τις σπουδές του και την καριέρα του, άρχισε σύντομα να ξεχωρίζει, κάτι που τον οδήγησε να ταξιδέψει και να καταλάβει υψηλού κύρους θέσεις στις ακαδημίες της Αγίας Πετρούπολης και του Βερολίνου. Ο πιο γόνιμος Μαθηματικός στην ιστορία, δεν υπήρξε μόνο ο κύριος ιδρυτής αυτού που γνωρίζουμε ως κλασικά Μαθηματικά, εξερευνώντας ευρεία ποικιλία πεδίων των μαθηματικών και εισάγοντας αρκετούς από τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται και σήμερα, αλλά επιπλέον ασχολήθηκε και με άλλα αντικείμενα, όπως η Αστρονομία, η οπτική, η μηχανική, ο μαγνητισμός, η βαλλιστική, η ναυσιπλοΐα, η ναυπηγική, η φιλοσοφία και η μουσική. Λέγεται ότι η μουσική του θεωρία δεν θριάμβευσε, διότι ήταν τόσο προχωρημένη σε μαθηματικούς υπολογισμούς για τους μουσικούς και πολύ προχωρημένη σε μουσική για τους Μαθηματικούς.


A Gift for Dissemination

Ο Euler υπήρξε επίσης δημοφιλής, αν και δεν ασχολήθηκε επαγγελματικά με τη διδασκαλία. Απόδειξη σε αυτό αποτελεί ότι η δημοσίευση που ήταν ευπώλητη (best seller) στον καιρό του ήταν το Γράμματα σε μία Γερμανίδα πριγκίπησα, επί των διαφορετικών θεμάτων της Φυσικής και της Φιλοσοφίας(Letters to a German Princess, On Different Subjects in Physics and of Philosophy), μία τρίτομη εργασία, η οποία ξεκίνησε να δημοσιεύεται το 1768 και αποτελεί συλλογή των γραμμάτων προς τη μαθήτριά του Friederike Charlotte
of Brandenburg-Schwedt, πριγκήπισα του Anhalt-Dessau και ανηψιά του Βασιλιά της Πρωσίας* Federico the Great.



 The famous Goldbach Conjecture first appeared in a letter addressed to Euler by Christian Goldbach. Source: Departament of Mathematics and Statistics - Dalhousie University

Η περίφημη εικασία του Goldbach πρωτοεμφανίστηκε σε ένα γράμμα 
του Christian Goldbach προς τον Euler. Πηγή: Departament of Mathematics and Statistics – Dalhousie University


Στην πραγματικότητα, η αλληλογραφία του Euler είναι επίσης ένας θησαυρός. Η περίφημη εικασία του Godbach ( Κάθε άρτιος ακέραιος, μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, που έχει επιβεβαιωθεί για όλους τους ακεραίους, τους μικρότερους του 4 × 1018, αλλά παραμεει αναπόδεικτη στη γενικη περίπτωση), ένα από τα παλαιότερα άλυτα Μαθηματικά προβλήματα, πρωτοεμφανίστηκε το 1742 σε ένα γράμμα του Goldbach, προς τον Euler, οι οποίοι γνωρίζονταν από την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης.



Πηγή φωτογραφίας. Οι άρτιοι ακέραιοι από το 4 έως το 28 ως άθροισμα δύο πρώτων: οι άρτιοι ακέραιοι αντιστοιχούν στις οριζόντιες μπλε γραμμές. Για κάθε πρώτο, υπάρχουν δύο πλάγιες γραμμές, μία κόκκινη και μία μπλε. Τα αθροίσματα των δύο πρώτων είναι οι τομές της μίας κόκκινης και της μίας μπλε γραμμής και σημειώνονται με ένα κυκλάκι. Έτσι, οι κύκλοι αυτοί σε μία οριζόντια γραμμή δίνουν όλες τις διαμερίσεις του αντίστοιχου άρτιου ακεραίου σε άθροισμα δύο πρώτων.


Ήταν σε αυτήν την πόλη, όπου ο Euler, στις 18 Σεπτέβρη 1783, την άνωση μπαλονιών θερμού αέρα, που είχε προκαλέσει μανία στην Ευρώπη, ενώ επιχειρηματολογούσε στο δείπνο με το συνάδελφό του Anders Johan Lexell σχετικά με την τροχιά του, μόλις ανακαλυφθέντα, πλανήτη Ουρανού.  Όπως έγραψε ο Condorcet, ήταν λίγο αργότερα, καθώς έπινε τσάι, παίζοντας με τον εγγονό του, όταν ξαφνικά η πίπα που κάπνιζε γλύστρησε από το χέρι του και έπαψε να υπολογίζει και να ζει.



του
Javier Yanes





*Σημείωση -απορία του μεταφραστή: Πρωσία = περίπου 3,14 φορές η Ρωσία ;!;



Στον όμιλο θα αναφερθούμε πολλές φορές σε διάφορα επιτεύγματά του και θα δούμε και κάποιες από τις διαδρομές που ακολούθησε. Πάνω στο έργο του έχουν στηθεί πολλές αξιόλογες προσπάθειες, σημαντικότερη από τις οποίες κατά τη γνώμη μου, είναι το How Euler did It! 

Ενδεχομένως, να προσπαθήσουμε να «ακολουθήσουμε» και κάποια από τα επιτεύγματά του, με τον τρόπο του...

Κυριακή, 14 Μαΐου 2017

Βέλτιστη γωνία παρατήρησης εικόνας

(117) Βέλτιστη γωνία παρατήρησης εικόνας - mathematica.gr



Βέλτιστη γωνία παρατήρησης εικόνας

Τις ημέρες αυτές πλήθος κόσμου επισκέπτεται την εκκλησία, προσκυνά και κάποιοι παρατηρούν τις εικόνες ή τις τοιχογραφίες.
Ας υποθέσουμε ότι μία εικόνα, μήκους 1 μέτρου, βρίσκεται (το κάτω μέρος της) σε ύψος 2 μέτρα από το έδαφος και ένας προσκυνητής, του οποίου τα μάτια βρίσκονται σε ύψος 1,8 μέτρα από το έδαφος παρατηρεί την εικόνα.
Να βρεθεί η θέση του παρατηρητή, ώστε η γωνία παρατήρησης της εικόνας ACB (γωνία άνω μέρους, οφθαλμών, κάτω μέρους) να γίνει μέγιστη.